Essa questão pode parecer assustadora à primeira vista, por causa da torre de potências ((7⁷)⁷). Mas, como o enunciado pede apenas o algarismo das unidades, a solução se torna muito mais acessível se usarmos aritmética modular, especialmente módulo 10, que determina o último dígito de qualquer número.

Começamos observando o comportamento dos últimos dígitos das potências de 7:

7¹ = 7 → termina em 7
7² = 49 → termina em 9
7³ = 343 → termina em 3
7⁴ = 2401 → termina em 1

A partir daí, vemos que os últimos dígitos se repetem em ciclos de 4: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ...

Isso significa que, para saber o último dígito de 7 elevado a qualquer potência, só precisamos descobrir em que posição do ciclo essa potência cai. E como o ciclo tem 4 elementos, basta calcular o expoente módulo 4.

No nosso caso, o expoente é 7⁷, então a primeira etapa é:

Qual é o valor de 7⁷ módulo 4?

Para isso, reduzimos 7 módulo 4:

7 ≡ 3 (mod 4)

Agora, calculamos:

3⁷ (mod 4)

Sabendo que 3² = 9 ≡ 1 (mod 4), então 3⁷ ≡ 3 (mod 4)

Logo:

7⁷ ≡ 3 (mod 4)

Isso quer dizer que (7⁷)⁷ equivale a 7³ quando olhamos apenas o último dígito.

Agora voltamos ao nosso ciclo de potências de 7:

7¹ → 7
7² → 9
7³ → 3

Portanto, o último dígito de (7⁷)⁷ é 3.

O algarismo das unidades de (7⁷)⁷ é 3.

O gabarito é a letra B.

Questão Q1303