Queremos calcular 4⁵⁵ mod 5, ou seja, o resto da divisão de 4 elevado à 55ª potência por 5. Para resolver isso de maneira inteligente, usamos propriedades da aritmética modular, procurando identificar padrões que simplifiquem o cálculo.

A solução começa com a observação de que:

4² = 16 ≡ 1 (mod 5)

Isso é muito útil, pois nos mostra que todas as potências pares de 4 se comportam como 1 módulo 5. A ideia então é escrever 55 de uma forma que destaque potências de 2, já que 4² ≡ 1.

Como 55 = 2 × 27 + 1, podemos reescrever a potência como:

4⁵⁵ = 4^{(2×27 + 1)}= (4²)²⁷ × 4

Agora aplicamos as congruências:

(4²) ≡ 1 (mod 5), então (4²)²⁷ ≡ 1²⁷ ≡ 1
Multiplicando por 4: 1 × 4 ≡ 4 (mod 5)

Resposta: 4⁵⁵ deixa resto 4 na divisão por 5.

O gabarito é a letra E.

Questão Q1304