Calcular 7¹⁷ diretamente daria um número enorme. Mas felizmente, não precisamos fazer isso. A ideia aqui é usar aritmética modular e propriedades das potências para simplificar.

O primeiro passo é perceber que estamos lidando com divisão por 5, então trabalharemos módulo 5 (isto é, vamos olhar só para os restos das divisões por 5).

Note que 7 e 2 deixam o mesmo resto na divisão por 5:

7 ≡ 2 (mod 5)

Então, calcular 7¹⁷ mod 5 é o mesmo que calcular 2¹⁷ mod 5.

Vamos calcular algumas potências de 2 módulo 5:

- - 2¹ = 2
  - 2² = 4
  - 2³ = 8 ≡ 3 (mod 5)
  - 2⁴ = 16 ≡ 1 (mod 5)

Aqui está o ponto chave: 2⁴ ≡ 1 (mod 5).

Sempre que uma potência volta ao valor 1, encontramos um ciclo. Isso nos permite simplificar potências maiores.

Agora, como 17 = 4×4 + 1, podemos escrever:

2¹⁷ = (2⁴)⁴ × 2

E como vimos que 2⁴ ≡ 1 (mod 5), isso vira:

(2⁴)⁴ × 2 ≡ 1⁴ × 2 ≡ 2 (mod 5)

Se 2¹⁷ ≡ 2 (mod 5), então 7¹⁷ ≡ 2 (mod 5) também, pois trocamos 7 por 2 no começo com base na equivalência.

O gabarito é a letra B.

Questão Q1305