Queremos encontrar o resto da divisão de 19⁷⁷ por 5. Como trabalhar com expoentes grandes diretamente é complicado, usamos a aritmética modular para simplificar a potência.

Primeiro, observamos que 19 ≡ -1 (mod 5), já que 19 dividido por 5 dá resto 4, e 4 ≡ -1 (mod 5). Então, calcular potências de 19 módulo 5 é o mesmo que calcular potências de -1 módulo 5.

Assim, 19² ≡ (-1)² = 1 (mod 5). Essa propriedade é muito útil: agora sabemos que toda potência par de 19 é congruente a 1 módulo 5.

Agora, vamos reescrever 19⁷⁷ como uma potência par vezes 19¹:

19⁷⁷ = (19²)³⁸ · 19

Usamos a regra das potências: a^bc = (a^b)^c.

Como (19²) ≡ 1 (mod 5), temos:

(19²)³⁸ ≡ 1³⁸ ≡ 1 (mod 5)

Portanto:

19⁷⁷ ≡ 1 · 19 ≡ 19 ≡ 4 (mod 5)

Ou seja, o resto da divisão de 19⁷⁷ por 5 é 4.

O gabarito é a letra A.

Questão Q1306