Vamos resolver esse problema utilizando congruência módulo 4. Primeiro, observe que:

10511 ≡ 3 (mod 4)

A ideia agora é verificar se é possível que a soma de dois quadrados perfeitos seja congruente com 3 módulo 4. Se não for, a equação não terá solução.

Sabemos que os quadrados perfeitos, quando divididos por 4, deixam resto 0 ou 1, como foi demonstrado na questão anterior. Assim, as únicas combinações possíveis para a soma de dois quadrados perfeitos (módulo 4) são:

- - 0 + 0 ≡ 0 (mod 4)
  - 0 + 1 ≡ 1 (mod 4)
  - 1 + 1 ≡ 2 (mod 4)

Note que nenhuma dessas somas é congruente com 3 módulo 4. Portanto, não existe nenhum par de inteiros (a, b) que satisfaça a equação a² + b² = 10511.

A equação a² + b² = 10511 não tem soluções inteiras porque a soma de dois quadrados nunca pode ser congruente com 3 módulo 4.

Questão Q1309