Para descobrir os dois últimos dígitos de uma potência muito grande, como 3²⁰²³, não é necessário calcular o número inteiro. O segredo está em trabalhar módulo 100, já que o resto da divisão por 100 nos dá exatamente os dois últimos dígitos de qualquer número.

Começamos calculando as primeiras potências de 3 e observando seus restos módulo 100.

3¹ = 3
3² = 9
3³ = 27
3⁴ = 81
3⁵ = 243 ≡ 43 (mod 100)
3⁶ = 729 ≡ 29 (mod 100)
3⁷ = 2187 ≡ 87 (mod 100)
3⁸ = 6561 ≡ 61 (mod 100)
3⁹ = 19683 ≡ 83 (mod 100)
3¹⁰ = 59049 ≡ 49 (mod 100)

Se seguimos essa lista, notamos que os dois últimos dígitos vão variando, mas sempre dentro de um padrão repetitivo. De fato, após vinte potências, o ciclo se completa e volta ao início. Isso significa que os dois últimos dígitos das potências de 3 se repetem a cada 20 expoentes.

Com essa informação, basta reduzir o expoente 2023 módulo 20. Dividindo 2023 por 20, obtemos 101 voltas completas e sobra um resto igual a 3. Isso quer dizer que 3²⁰²³ tem os mesmos dois últimos dígitos que 3³.

Por fim, lembramos que 3³ = 27. Portanto, os dois últimos dígitos de 3²⁰²³ são 27.

Questão Q1311