Para resolver, precisamos encontrar todos os números da forma:

n ≡ 5 (mod 7), ou seja, n = 7k + 5.

Primeiro, determinamos o menor inteiro dessa forma que seja maior ou igual a 1000.
Dividindo 1000 por 7, temos 1000 ÷ 7 = 142 com resto 6.
Portanto, 1000 ≡ 6 (mod 7).
O próximo número congruente a 5 (mod 7) é 1000 + (7 − 1) = 1006.

Agora, buscamos o maior número da forma 7k + 5 que seja menor ou igual a 3000.
Dividindo 3000 por 7, temos 3000 ÷ 7 = 428 com resto 4.
Assim, 3000 ≡ 4 (mod 7).
O último número congruente a 5 (mod 7), abaixo de 3000, é 3000 + 1 = 3001, mas esse já passa do limite.
Portanto, o maior válido é 2999 (pois 2999 ≡ 5 mod 7).

Agora temos a sequência:
1006, 1013, 1020, …, 2999.

Essa é uma progressão aritmética de razão 7.
Número de termos = ((último − primeiro) ÷ 7) + 1.
= (2999 − 1006) ÷ 7 + 1.
= 1993 ÷ 7 + 1.
= 285 + 1.
= 286 termos.

Resposta: Existem 286 inteiros entre 1000 e 3000, incluindo os extremos, que são congruentes a 5 (mod 7).

Questão Q1314