O problema pede os dois últimos dígitos de 99²⁰⁰⁵. Sempre que buscamos os dois últimos dígitos de um número, isso significa que precisamos calcular esse número módulo 100. Em outras palavras, não precisamos do valor exato da potência inteira, apenas do resto da divisão por 100.

Note que 99 está muito próximo de 100. Podemos escrever 99 = 100 − 1. Isso nos mostra que, em aritmética módulo 100, o número 99 é equivalente a -1. Ou seja, em vez de trabalhar com 99^2005, podemos trabalhar com (-1)²⁰⁰⁵, já que ambos têm o mesmo resto na divisão por 100.

Essa substituição torna o problema bem mais simples. Sabemos que as potências de -1 alternam entre dois resultados: se o expoente é par, (-1)ⁿ= 1; se o expoente é ímpar, (-1)ⁿ= -1. Como 2005 é ímpar, temos (-1)ⁿ= -1.

Agora precisamos interpretar o resultado -1 no contexto do módulo 100. Em aritmética modular, -1 é equivalente a 99, pois -1 e 99 deixam o mesmo resto quando divididos por 100. Assim, concluímos que 99²⁰⁰⁵ ≡ 99 (mod 100).

Portanto, os dois últimos dígitos de 99²⁰⁰⁵ são 99.

Questão Q1317