O problema pede os dois últimos dígitos de 7⁶⁰³. Para encontrar esse valor, basta calcular o número módulo 100, pois os dois últimos dígitos de qualquer número correspondem ao resto da divisão por 100.

A solução apresentada escreve o expoente 603 na forma 4·150 + 3. Com isso, podemos reescrever a potência como:

7⁶⁰³ = 7^{(4·150 + 3)}= (7⁴)¹⁵⁰x 7³.

Esse passo é importante porque facilita a simplificação usando congruências. Sabemos que 7⁴ = 2401, e ao dividir 2401 por 100 o resto é 1. Assim, temos que 7⁴ ≡ 1 (mod 100). Isso significa que qualquer potência de 7⁴ também será congruente a 1 módulo 100. Portanto, (7⁴)¹⁵⁰ ≡ 1¹⁵⁰≡ 1 (mod 100).

Depois dessa simplificação, a expressão se reduz a:

7⁶⁰³ ≡ 1 x 7³ (mod 100).

Agora o cálculo é direto. 7³ = 343, e ao dividir 343 por 100, o resto é 43. Assim, concluímos que 7⁶⁰³ ≡ 43 (mod 100).

Portanto, os dois últimos dígitos de 7⁶⁰³ são 43.

Questão Q1318