Um múltiplo de 3 é um número que pode ser escrito como 3 vezes um número inteiro. No intervalo da questão, os múltiplos são positivos. O primeiro é 3, e os seguintes aparecem de três em três:

$3,\ 6,\ 9,\ 12,\ \ldots$

Podemos escrever esses números como produtos:

$3\times1,\ 3\times2,\ 3\times3,\ 3\times4,\ \ldots$

Essa escrita ajuda a contar: o multiplicador 1 produz o primeiro múltiplo positivo; o multiplicador 2 produz o segundo; o multiplicador 3 produz o terceiro, e assim por diante. Cada multiplicador inteiro positivo produz um múltiplo diferente, sem pular nenhum.

Precisamos descobrir até qual multiplicador podemos chegar sem ultrapassar 2 005. Para isso, dividimos 2 005 por 3. O quociente é 668 e o resto é 1:

$2\,005 = 3\times668 + 1$

O resto 1 indica que 2 005 fica uma unidade depois de um múltiplo de 3. Esse múltiplo é:

$3\times668 = 2\,004$

Portanto, 2 004 está dentro do intervalo e deve ser contado. Para verificar que ele é o último, calculamos o múltiplo seguinte, aumentando o multiplicador em uma unidade:

$3\times669 = 2\,007$

Como 2 007 ultrapassa 2 005, ele já fica fora do intervalo. Todos os múltiplos posteriores são ainda maiores e também ficam fora.

Assim, os números procurados são os produtos de 3 pelos inteiros de 1 até 668. Como existem 668 multiplicadores nesse intervalo e cada um produz exatamente um múltiplo, encontramos 668 números inteiros múltiplos de 3.

O gabarito é a letra D.

Questão Q14725