Vamos chamar de n o número menor, que permanece depois de apagar o algarismo das unidades, e de d o algarismo apagado. Aqui, n representa um número inteiro, que pode ter vários algarismos. Já d é um dos algarismos de 0 a 9.

Para recuperar o número maior, acrescentamos d à direita da escrita de n.

Ao abrir uma nova casa das unidades, os algarismos de n passam a ocupar posições cujo valor é dez vezes maior: as unidades passam a dezenas, as dezenas a centenas, e assim por diante.

Por isso, primeiro multiplicamos n por 10. Depois acrescentamos d unidades. O número maior é:

$10n+d$

O número menor é n, e o maior é dez vezes n mais d. Como a soma é 1357:

$n+(10n+d)=1357$

Juntamos uma vez n com dez vezes n, obtendo onze vezes n:

$11n+d=1357$

Portanto, 1357 é um múltiplo de 11 mais o algarismo d.

Como d está entre 0 e 9, ele é menor que 11. Isso permite interpretar a igualdade como uma divisão com resto: n é o quociente e d é o resto da divisão de 1357 por 11.

Observe por que dividimos por 11: estamos somando um número que contribui com uma vez n e outro que contribui com dez vezes n, além de d.

Calculamos o múltiplo de 11 imediatamente abaixo de 1357:

$11\times123=1353$

O múltiplo seguinte já ultrapassa o total:

$11\times124=1364>1357$

Logo, o quociente é 123. Para encontrar o resto, subtraímos de 1357 o múltiplo encontrado:

$1357-1353=4$

Assim:

$1357=11\times123+4$

Comparando com a relação entre os dois números:

$n=123,\qquad d=4$

O algarismo apagado é 4.

O gabarito é a letra A.

Questão Q14756