A idade de Sofia e a soma dos algarismos de seu ano de nascimento precisam dar o mesmo número. Vamos usar primeiro a informação dos meses para calcular a idade corretamente e depois investigar o ano.

Sofia nasceu em janeiro. Portanto, em fevereiro de 2013 ela já havia feito aniversário naquele ano. Sua idade em anos completos é a diferença entre 2013 e o ano de nascimento; não precisamos subtrair mais um ano.

\text{idade}=2013-\text{ano de nascimento}

A soma dos algarismos de um ano positivo anterior a 2000 não pode ultrapassar 28. Nos anos de quatro algarismos, o primeiro é 1 e cada um dos outros três vale no máximo 9:

1+9+9+9=28

Nos anos de até três algarismos, a soma não passa de 27. Assim, 28 é um limite válido para todos os anos considerados. Como a idade de Sofia é igual à soma dos algarismos, ela tem no máximo 28 anos em fevereiro de 2013.

2013-28=1985

Logo, Sofia nasceu entre 1985 e 1999, inclusive. O limite superior vem da informação de que ela nasceu antes de 2000. Agora precisamos investigar apenas duas possibilidades: um ano que começa por 198 ou por 199.

Se o ano começa por 198, chamamos de u o algarismo das unidades. O ano é 1980 + u. Em relação a alguém nascido em 1980, Sofia teria \(u\) anos a menos, pois teria nascido u anos depois. Como 2013-1980 = 33, sua idade seria 33.

A soma dos algarismos seria 1+9+8+u, isto é, 8+u. Para as duas quantidades serem iguais:

33-u=18+u

A diferença inicial entre 33 e 18 é 15. O u é retirado de um lado e acrescentado ao outro; por isso, para os valores se encontrarem, precisamos de duas vezes u igual a 15:

2u=15, portanto

u=7{,}5

Isso é impossível, pois u deve ser um algarismo inteiro. Assim, nenhum dos anos de 1985 a 1989 atende à condição.

Se o ano começa por 199, o ano é 1990+u. Como 2013-1990=23, a idade é 23-u. Já a soma dos algarismos é 1+9+9+u, ou seja, 19+u.

23-u=19+u

Agora, a diferença inicial é 4. Cada unidade de u diminui a idade em 1 e aumenta a soma em 1, reduzindo a diferença em 2. Por isso:

2u = 4, portanto u = 2

Com u = 2, o ano de nascimento é 1992. Em fevereiro de 2013, depois do aniversário de janeiro, Sofia tem:

$2013-1992=21\text{ anos}$

A soma dos algarismos desse ano também vale 21:

$1+9+9+2=21$

O ano é 1992 e a idade é 21, mas a pergunta pede apenas o algarismo das unidades do ano, que é 2.

O gabarito é a letra D.

Questão Q14768