Para encontrar o menor número, precisamos tomar duas decisões em ordem: usar a menor quantidade possível de algarismos e, entre os números com essa quantidade, escolher os menores algarismos possíveis da esquerda para a direita.

Não basta escolher o menor algarismo par para as unidades. A soma precisa continuar sendo 2026, e uma mudança no final pode obrigar a aumentar os algarismos do começo, que têm maior valor posicional.

Cada algarismo vale, no máximo, 9. Portanto, um número com 225 algarismos teria soma de algarismos de, no máximo:

$$225\times9=2025$$

Mesmo preenchendo todas essas posições com 9, ainda não alcançaríamos 2026. Com menos posições, a soma máxima seria ainda menor. Assim, o número procurado precisa ter pelo menos 226 algarismos.

Vamos verificar se conseguimos construí-lo com exatamente essa quantidade. Se conseguirmos, qualquer número com mais algarismos será maior, pois não contamos zeros à esquerda.

O primeiro algarismo não pode ser 0. Vamos tentar o menor valor possível: 1.

Em um número com 226 algarismos, temos uma posição inicial, 224 posições intermediárias e a posição das unidades:

$$226-2=224$$

Como o número deve ser par, o maior algarismo que podemos colocar nas unidades é 8. Nas posições intermediárias, o maior é 9.

Assim, se começássemos com 1, a maior soma possível, respeitando a paridade, seria:

$$1+224\times9+8=1+2016+8=2025$$

Ainda falta uma unidade para alcançar 2026. Portanto, nenhum número par de 226 algarismos que começa com 1 atende ao enunciado.

Vamos tentar o próximo algarismo: 2. Mantendo 9 em todas as posições intermediárias e 8 nas unidades, obtemos:

$$2+224\times9+8=2+2016+8=2026$$

Agora a soma é exatamente a desejada! Construímos um número par de 226 algarismos que começa com 2.

Com o primeiro algarismo igual a 2, as demais posições precisam somar:

$$2026-2=2024$$

O máximo que essas posições podem fornecer, respeitando a condição de que o número seja par, é:

$$224\times9+8=2024$$

Precisamos atingir exatamente esse máximo. Por isso, todas as 224 posições intermediárias devem conter 9, e a posição das unidades deve conter 8.

Se diminuíssemos qualquer um desses algarismos, a soma ficaria menor que 2026. Não haveria como compensar essa redução nas outras posições, pois todas já estão com seus maiores valores permitidos.

O número construído é, portanto, 2 seguido de 224 algarismos 9 e terminado em 8:

$$N=2\underbrace{99\cdots99}_{224\text{ algarismos }9}8$$

O número construído tem 226 algarismos:

$$1+224+1=226$$

Ele é positivo, termina em um algarismo par e a soma de seus algarismos é 2026.

Já mostramos que não existe solução com menos de 226 algarismos. Entre os números dessa extensão, nenhum que começa com 1 serve. O nosso começa com 2, o menor primeiro algarismo possível, e as demais posições ficam obrigatoriamente determinadas. Qualquer número de 226 algarismos que comece com 3 ou mais será maior, independentemente do restante da escrita.

Portanto, encontramos o menor inteiro positivo par com a soma exigida. Seu algarismo das unidades é 8.

O gabarito é a letra E.

Questão Q15018