Podemos encontrar o resto sem calcular esse produto enorme. Para isso, analisamos separadamente a multiplicação e o número $21$ que é somado ao final.

As reticências indicam que multiplicamos todos os números naturais de $1$ até $2011$. Portanto, o número $8$ aparece entre os fatores:

$$1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times\cdots\times2011$$

Ao multiplicar $8$ por números naturais, sempre obtemos um múltiplo de $8$. Assim, todo esse produto pode ser dividido por $8$ sem deixar resto. Não precisamos descobrir seu valor para saber isso.

Agora analisamos os $21$ acrescentados. Dividindo $21$ por $8$, formamos dois grupos completos de oito e ainda sobram cinco unidades:

$$21=2\times8+5=16+5$$

O produto inicial já é um múltiplo de $8$. Ao acrescentarmos $16$, que também é múltiplo de $8$, continuamos com uma quantidade divisível por $8$. Depois, acrescentamos as cinco unidades restantes. Elas não completam outro grupo de oito, pois $5<8$.

Para registrar esse raciocínio, chamamos de $k$ o quociente inteiro da divisão do produto inicial por $8$. Assim, o produto vale $8k$, e a expressão inteira fica:

$$8k+21=8k+16+5=8(k+2)+5$$

Essa escrita mostra um múltiplo de $8$ mais um número menor que $8$. Portanto, o resto é $5$.

O gabarito é a letra C.

Questão Q15114