Podemos descobrir o novo resto sem conhecer o número em que Lucas pensou. Para isso, comparamos os dois divisores.

Ao dividir um número por $285$ e obter resto $77$, separamos uma parte que é múltipla de $285$ e uma sobra de $77$. Chamamos de $N$ o número de Lucas e de $q$ o quociente inteiro dessa divisão. Assim:

$$N=285q+77$$

Agora observamos que $285$ é múltiplo de $57$:

$$285=5\times57$$

Isso significa que cada grupo completo de $285$ unidades pode ser repartido em cinco grupos completos de $57$, sem deixar sobra. Portanto, a parte $285q$ também é divisível por $57$.

Falta analisar as $77$ unidades que sobraram na primeira divisão. Elas ainda contêm um grupo completo de $57$. Retirando esse grupo, encontramos:

$$77-57=20$$

Ou seja:

$$77=57+20$$

Reunindo as duas etapas, escrevemos:

$$N=285q+77=57\times5q+57+20=57(5q+1)+20$$

A parcela $57(5q+1)$ é um múltiplo de $57$. As $20$ unidades restantes não formam outro grupo completo, pois $0\leq20<57$. Portanto, o resto da divisão do número de Lucas por $57$ é $20$.

O número pensado e os quocientes podem variar, mas o resto pedido é sempre o mesmo. Isso acontece porque $57$ divide $285$: toda a parte múltipla do divisor antigo também é múltipla do novo divisor, e basta dividir o resto antigo pelo novo divisor.

O gabarito é a letra B.

Questão Q15116