A regra fundamental para resolver este problema, como aponta a solução, é a seguinte: "para um número ser divisível por 6, ele precisa ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo".

Um número é divisível por 2 se o seu último algarismo for par (0, 2, 4, 6 ou 8). No número 5DDDD, o último algarismo é D. Portanto, para que o número seja divisível por 2, D deve ser um número par. Com isso, já eliminamos as opções ímpares. D só pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8.

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos for um número divisível por 3. Vamos somar os algarismos do número:

$S o ma = 5 + D + D + D + D = 5 + 4 D$

Agora, vamos testar os valores pares de D (que descobrimos na primeira condição) para ver qual deles faz a soma $(5 + 4 D)$ ser um múltiplo de 3.

- - Se $D = 0$ : $S o ma = 5 + 4 (0) = 5$ . (5 não é divisível por 3)
  - Se $D = 2$ : $S o ma = 5 + 4 (2) = 5 + 8 = 13$ . (13 não é divisível por 3)
  - Se $D = 4$ : $S o ma = 5 + 4 (4) = 5 + 16 = 21$ . (21 é divisível por 3, pois 3 x 7 = 21)
  - Se $D = 6$ : $S o ma = 5 + 4 (6) = 5 + 24 = 29$ . (29 não é divisível por 3)
  - Se $D = 8$ : $S o ma = 5 + 4 (8) = 5 + 32 = 37$ . (37 não é divisível por 3)

O único dígito que satisfaz ambas as condições (ser par e fazer a soma dos algarismos ser divisível por 3) é o 4. Se D = 4, o número é 54444. Ele é par (divisível por 2). A soma de seus algarismos é 21 (divisível por 3). Como o número 54444 é divisível por 2 e por 3, ele também é divisível por 6.

Portanto, a resposta correta é D = 4.

......

Resolver a questão usando aritmética modular é uma abordagem mais direta e elegante. Aqui está a resolução passo a passo:

Como vimos, para que o número 5DDDD seja divisível por 6, ele deve ser divisível por 2 e por 3.

1. Divisibilidade por 2: A primeira condição permanece a mesma: o último dígito, D, deve ser par. $D \in {0, 2, 4, 6, 8}$

2. Divisibilidade por 3 (usando Aritmética Modular): A soma dos dígitos é $S = 5 + 4 D$ . Para que o número seja divisível por 3, a soma de seus dígitos deve ser um múltiplo de 3. Em termos de aritmética modular, isso significa que a soma deve ser congruente a 0 módulo 3.

Escrevemos isso da seguinte forma:

5 + 4 D \equiv 0 (mod 3)

Agora, vamos simplificar a congruência. Analisamos cada termo em relação ao módulo 3 (ou seja, qual o resto da divisão por 3):

- - O número 5, quando dividido por 3, deixa resto 2. Então, $5 \equiv 2 (mod 3)$ .
  - O número 4, quando dividido por 3, deixa resto 1. Então, $4 \equiv 1 (mod 3)$ .

Substituindo esses valores na nossa equação:

2 + (1) D \equiv 0 (mod 3)

2 + D \equiv 0 (mod 3)

Para isolar o D, podemos subtrair 2 de ambos os lados da congruência:

D \equiv - 2 (mod 3)

Um resto -2 é equivalente a um resto 1 (pois - 2 + 3 = 1). Portanto:

D \equiv 1 (mod 3)

Isso nos diz que D deve ser um número que, ao ser dividido por 3, deixa o resto 1.

Os dígitos de 0 a 9 que satisfazem essa condição são:

$D = 1$ (pois $1 = 0 \times 3 + 1$ )

$D = 4$ (pois $4 = 1 \times 3 + 1$ )

$D = 7$ (pois $7 = 2 \times 3 + 1$ )

Agora, cruzamos as informações das duas condições:

- - Condição 1: D deve ser par $\to D \in {0, 2, 4, 6, 8}$
  - Condição 2: D deve deixar resto 1 na divisão por 3 $\to D \in {1, 4, 7}$

O único número que aparece nas duas listas é o 4.

Portanto, usando aritmética modular, confirmamos que D = 4.

O gabarito é a letra D.

Questão Q1538