Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3. Primeiro, somamos os algarismos do número 4A8B:

S = 4 + A + 8 + B = 12 + A + B

Para que o número seja um múltiplo de 3, a soma (S) deve ser congruente a 0 módulo 3. Escrevemos isso como:

12 + A + B ≡ 0 (mod3)

O número 12 é um múltiplo de 3, então o seu resto na divisão por 3 é 0. Assim, 12 ≡ 0 (mod3). Substituindo isso na equação, temos:

0 + A + B ≡ 0 (mod3)

A + B ≡ 0 (mod3)

Isso nos diz que a soma dos dígitos A e B deve ser um múltiplo de 3. Vamos categorizar os dígitos de 0 a 9 de acordo com o resto que eles deixam na divisão por 3:

Resto 0 (múltiplos de 3): {0, 3, 6, 9} → 4 dígitos
Resto 1: {1, 4, 7} → 3 dígitos
Resto 2: {2, 5, 8} → 3 dígitos

A condição A + B ≡ 0 (mod3) pode ser satisfeita de três maneiras:

Caso 1: Ambos os dígitos têm resto 0.

A deve ser do grupo {0, 3, 6, 9} (4 opções).
B deve ser do grupo {0, 3, 6, 9} (4 opções).
Total de pares: 4 × 4=16

Caso 2: O resto de A é 1 e o resto de B é 2.

A deve ser do grupo {1, 4, 7} (3 opções).
B deve ser do grupo {2, 5, 8} (3 opções).
Total de pares: 3 × 3 = 9

Caso 3: O resto de A é 2 e o resto de B é 1.

A deve ser do grupo {2, 5, 8} (3 opções).
B deve ser do grupo {1, 4, 7} (3 opções).
Total de pares: 3 × 3 = 9

Somando o total de pares de todos os casos:

Total = 16 + 9 + 9 = 34

Existem 34 pares ordenados (A, B) para os quais o número 4A8B é um múltiplo de 3.

O gabarito é a letra B.

Questão Q1539