A primeira e mais importante etapa é perceber que 1125 é um número grande e não possui uma regra de divisibilidade simples. Para isso, decompomos o número em seus fatores primos:

= 9 × 125

Isso nos diz uma coisa fundamental: para que o número 52MN5 seja um múltiplo de 1125, ele precisa ser um múltiplo de 9 e de 125 ao mesmo tempo.

Comecemos pela regra de divisibilidade por 125. Essa é uma ótima escolha, pois a divisibilidade por 125 depende apenas dos três últimos dígitos, o que limita muito mais as nossas possibilidades do que a regra do 9, que depende de todos os dígitos.

Um número é divisível por 125 se o número formado por seus três últimos algarismos for um múltiplo de 125.No nosso caso, o número é 52MN5. Os três últimos dígitos formam o número MN5. Como o último dígito já é 5, só precisamos encontrar os múltiplos de 125 que terminam em 5. São eles:

125, 375, 625 e 875

Isso nos dá quatro possíveis valores para o bloco MN5 e, consequentemente, quatro números candidatos para 52MN5:

52125 (M=1, N=2)

52375 (M=3, N=7)

52625 (M=6, N=2)

52875 (M=8, N=7)

Agora que temos apenas quatro possibilidades, usamos a regra de divisibilidade por 9 para ver qual delas funciona. Um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos for um múltiplo de 9. Vamos testar cada candidato:

- - 52125: Soma = + 2 + 1 + 2 + 5 = 15. (15 não é múltiplo de 9)
  - 52375: Soma = + 2 + 3 + 7 + 5 = 22. (22 não é múltiplo de 9)
  - 52625: Soma = + 2 + 6 + 2 + 5 = 20. (20 não é múltiplo de 9)
  - 52875: Soma = + 2 + 8 + 7 + 5 = 27. (27 é múltiplo de 9, pois × 3=27)

O único número que satisfaz ambas as condições é o 52875. Comparando com 52MN5, concluímos que M = 8 e N = 7.

Portanto, o par ordenado (M, N) é (8, 7).

Resposta: (8, 7).

Questão Q1541