Um palíndromo de quatro dígitos tem a forma ABBA, em que A é um dígito de 1 a 9 (não pode ser zero, senão o número teria três dígitos) e B é um dígito de 0 a 9.

Para que o número seja um múltiplo de 9, a soma de seus algarismos deve ser um múltiplo de 9.

Soma = A + B + B + A = 2A + 2B = 2(A + B)

A condição é que 2(A + B) seja um múltiplo de 9. Como 2 e 9 não têm fatores em comum (são primos entre si), a única forma de 2(A+B) ser múltiplo de 9 é se (A + B) for um múltiplo de 9. Agora falta analisar os possíveis valores para a soma A + B:

· O menor valor possível para A é 1 e para B é 0. Soma mínima = + 0 = 1.

· O maior valor possível para A é 9 e para B é 9. Soma máxima = + 9 = 18.

Então, precisamos encontrar os múltiplos de 9 que estão entre 1 e 18. Os únicos são 9 e 18. Agora, só precisamos contar quantos pares (A, B) satisfazem cada uma dessas equações, lembrando que A não pode ser 0.

· Caso 1: A + B = 9

o Se A=1, B=8 (Número: 1881)

o Se A=2, B=7 (Número: 2772)

o Se A=3, B=6 (Número: 3663)

o Se A=4, B=5 (Número: 4554)

o Se A=5, B=4 (Número: 5445)

o Se A=6, B=3 (Número: 6336)

o Se A=7, B=2 (Número: 7227)

o Se A=8, B=1 (Número: 8118)

o Se A=9, B=0 (Número: 9009) Temos 9 possibilidades aqui.

· Caso 2: A + B = 18

o A única combinação de dígitos em que A não é zero é:

o A=9, B=9 (Número: 9999) Temos 1 possibilidade aqui.

Somando as possibilidades dos dois casos: (do caso 1) + 1 (do caso 2) = 10.

Resposta: existem 10 palíndromos de quatro dígitos que são múltiplos de 9.

Questão Q1545