O problema nos dá duas condições para um número de três dígitos (que podemos chamar de ABC):

Condição da Soma: A + B + C = 13

O número ABC dividido por 4 deixa resto 1, o que em aritmética modular se escreve como ABC ≡ 1 (mod 4).

A regra de divisibilidade por 4 nos diz que o resto da divisão de um número por 4 depende apenas dos seus dois últimos dígitos. Portanto, a condição ABC ≡ 1 (mod 4) significa que o número formado pelos dígitos BC também deve deixar resto 1 na divisão por 4 (BC ≡ 1 (mod 4)).

Os números de dois dígitos que satisfazem isso são: 01, 05, 09, 13, 17, ..., 97. Como a solução aponta, existem 25 desses pares.

Agora, vamos usar a primeira condição: A + B + C = 13. Podemos reescrevê-la como: A = 13 - (B + C)

Sabemos que A é o primeiro dígito de um número de três dígitos, então A não pode ser 0. Seus valores possíveis são de 1 a 9. Isso nos permite criar uma restrição para a soma B + C:

- - Se A for no mínimo 1: 1 ≤ 13 - (B + C) → B + C ≤ 12
  - Se A for no máximo 9: 9 ≥ 13 - (B + C) → B + C ≥ 4

Juntando as duas, descobrimos que a soma dos dois últimos dígitos deve estar entre 4 e 12 (inclusive): 4 ≤ B + C ≤ 12.

Agora, o problema se resume a: dos 25 pares BC que deixam resto 1 na divisão por 4, quantos deles têm a soma de seus dígitos entre 4 e 12? Pares BC com soma menor que 4:

01 (soma = 1)

21 (soma = 3)

Pares BC com soma maior que 12:

49 (soma = 13)

69 (soma = 15)

77 (soma = 14)

85 (soma = 13)

89 (soma = 17)

97 (soma = 16)

No total, existem 8 pares que são "ruins" e devem ser excluídos.

Finalmente, subtraímos os pares ruins do total de pares possíveis: 25 (total de pares que satisfazem a condição do resto) - 8 (pares excluídos pela condição da soma) = 17

Para cada um desses 17 pares BC válidos, existe um único dígito A (calculado por A = 13 - (B+C)) que completa o número.

Resposta: Existem 17 números de três dígitos que satisfazem ambas as condições.

Questão Q1546