Este problema é um caso clássico de aplicação do conceito de Máximo Divisor Comum (MDC). A chave para identificá-lo está na necessidade de dividir diferentes quantidades de itens (parafusos, porcas e arruelas) no maior número possível de grupos idênticos. A palavra "dividir" nos remete aos divisores, e a condição de "maior número possível" de pacotes nos leva diretamente ao máximo divisor.

Para que os pacotes sejam idênticos, cada um deles deve conter a mesma quantidade de parafusos, a mesma de porcas e a mesma de arruelas. Isso só é possível se o número total de pacotes for um divisor comum das quantidades de cada item. Como o enunciado pede pelo maior número possível de pacotes, a solução será encontrada calculando-se o Máximo Divisor Comum (MDC) entre os números de parafusos, porcas e arruelas.

O ponto de partida para a resolução é, portanto, calcular o Máximo Divisor Comum (MDC) entre os números 180, 135 e 225. Um método eficiente para isso é a fatoração simultânea, que consiste em dividir os três números, ao mesmo tempo, por seus divisores primos comuns.

Iniciamos o processo com o menor divisor primo que seja comum aos três números. Tanto 180 quanto 135 e 225 são divisíveis por 3. Realizando a primeira divisão, obtemos os quocientes 60 (180 ÷ 3), 45 (135 ÷ 3) e 75 (225 ÷ 3).

Agora, repetimos o processo com os novos números. Observamos que 60, 45 e 75 ainda são todos divisíveis por 3. Ao efetuarmos essa segunda divisão, chegamos aos resultados 20 (60 ÷ 3), 15 (45 ÷ 3) e 25 (75 ÷ 3).

Continuando com o passo a passo, analisamos os números 20, 15 e 25. Eles não são mais divisíveis por 3, mas todos têm o número 5 como divisor primo comum. Dividindo-os por 5, obtemos os quocientes 4 (20 ÷ 5), 3 (15 ÷ 5) e 5 (25 ÷ 5).

Neste ponto, os números resultantes são 4, 3 e 5. Como eles não possuem mais nenhum divisor primo em comum (são primos entre si), o processo de fatoração para o cálculo do MDC é finalizado.

Para encontrar o valor do MDC, basta multiplicar os divisores primos que foram utilizados no processo: 3 × 3 × 5. O produto desses fatores é 45. Assim, concluímos que o maior número possível de pacotes idênticos que o gerente pode formar é 45.

O gabarito é a letra A.

Questão Q2044