Para analisar estas afirmativas, precisamos ter um bom domínio do conceito de Máximo Divisor Comum (MDC) e de suas propriedades. O MDC entre dois ou mais números inteiros é o maior número que consegue dividir todos eles sem deixar resto. Esta ferramenta é crucial na teoria dos números, e suas propriedades nos permitem resolver problemas de forma mais eficiente. A questão explora três dessas regras fundamentais.

A primeira afirmação é verdadeira. Um número primo, por definição, possui apenas dois divisores positivos: o número 1 e ele mesmo. Ao considerarmos dois números primos distintos, como 5 e 13, os divisores de 5 são {1, 5} e os de 13 são {1, 13}. O único divisor que eles compartilham é, necessariamente, o número 1. Portanto, o MDC entre eles será sempre 1. Quando isso acontece, dizemos que os números são primos entre si.

A segunda afirmação é verdadeira. Esta é uma propriedade fundamental do MDC, muitas vezes chamada de propriedade da homogeneidade. Ela estabelece que, se todos os elementos dentro de um cálculo de MDC são multiplicados por um mesmo número inteiro positivo (neste caso, o 2), o resultado final do MDC também será multiplicado por esse número. Por exemplo, sabemos que o MDC(10, 15) = 5. Se aplicarmos a propriedade, o MDC (2×10, 2×15), que é o MDC (20, 30), deve ser 2 × 5 = 10, o que está correto.

A terceira afirmação é verdadeira. Esta declaração ilustra a propriedade associativa do MDC. Essa propriedade nos garante que, ao calcular o MDC de três ou mais números, a ordem em que agrupamos os cálculos não altera o resultado final. Podemos calcular o MDC de todos os números de uma só vez ou calcular o MDC de um par e depois o MDC do resultado com o número seguinte. No exemplo, o MDC(12, 18) é 6. Em seguida, calculando o MDC(6, 24), encontramos o mesmo resultado 6, que é o MDC dos três números juntos.

A sequência correta é V, V, V.

Questão Q2045